Kümeler, Kartezyen Çarpım Bağıntı ve Fonksiyon
KÜMELER
-
TANIM
- Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir.
- Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.
- Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise, a Î A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur. b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin elemanı değildir.” diye okunur.
- Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.
- Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.
- A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.
-
KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.
-
Liste Yöntemi
Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.
A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(A) = 3 tür.
-
Ortak Özelik Yöntemi
Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.
A = {x : (x in özelliği)}
Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.
Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.
-
Venn Şeması Yöntemi
Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.
Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.
-
EŞİT KÜME, DENK KÜME
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
A kümesi B kümesine eşit ise A = B,
C kümesi D kümesine denk ise C º D
biçiminde gösterilir.
Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir. |
-
BOŞ KÜME
Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir.
{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir. |
-
ALT KÜME – ÖZALT KÜME
-
Alt Küme
A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B É A biçiminde gösterilir.
C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir.
-
Özalt Küme
Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.
-
Alt Kümenin Özelikleri
- i) Her küme kendisinin alt kümesidir.
A Ì A
- ii) Boş küme her kümenin alt kümesidir.
Æ Ì A
iii) (A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir.
ıv) (A Ì B ve B Ì C) ª A Ì C dir.
- v) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n ve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir.
vı) n elemanlı bir kümenin r tane elemanlı (n ³ r) alt kümelerinin sayısı
-
KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER
-
Kümelerin Birleşimi
A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.
A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir.
-
Birleşim İşleminin Özelikleri
- i) A È Æ = A
- ii) A È A = A
- iii) A È B = B È A
- iv) A È (B È C) = (A È B) È C
- v) A Ì B ise, A È B = B
- vı) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.
-
Kümelerin Kesişimi
A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir.
A Ç B = {x : x Î A ve x Î B} dir.
-
Kesişim İşleminin Özelikleri
- i) A Ç Æ = Æ
- ii) A Ç A = A
iii) A Ç B = B Ç A
- iv) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
- v) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
vı) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)
-
EVRENSEL KÜME
Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.
-
BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ
Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve ya da Aı ile gösterilir.
= {x : x Î E ve x Ï A, A Ì E} dir.
Tümleyenin Özelikleri
-
KUVVET KÜMESİ
Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.
s(A) = n ise, s(P(A)) = 2n dir.
-
İKİ KÜMENİN FARKI
A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.
A – B = {x : x Î A ve x Ï B} dir.
Farkla İlgili Özelikler
A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,
-
ELEMAN SAYISI
A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,
- i) s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)
- ii) s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C) – s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)
iii) s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)
- iv) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.
Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:
s(T È V) = a + b + c dir.
Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:
s(T – V) + s(V – T) = a + c dir.
Sadece tenis oynayanların sayısı:
s(T – V) = a dır.
Tenis oynamayanların sayısıdır.
Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:
s(T È V) = a + b + c dir.
KARTEZYEN ÇARPIM – BAĞINTI
-
SIRALI n Lİ
n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.
(a, b) sıralı ikilisinde;
a : Birinci bileşen,
b : İkinci bileşendir.
a ¹ b ise, (a, b) ¹ (b, a) dır. (a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir. |
-
KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.
A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.
A x B = {(x, y) : x Î A ve y Î B} dir.
A ¹ B ise, A x B ¹ B x A dır. |
-
KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELİKLERİ
- i) s(A) = m ve s(B) = n ise
s(A x B) = s(B x A) = m . n dir.
- ii) A x (B x C) = (A x B) x C
iii) A x (B È C) = (A x B) È (A x C)
- iv) (B È C) x A = (B x A) È (C x A)
- v) A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C)
vı) A x Æ = Æ x A = Æ
-
BAĞINTI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.
Bağıntı genellikle b biçiminde gösterilir.
b Ì A x B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} dir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n ise,
A dan B ye 2m.n tane bağıntı tanımlanabilir.
Ü A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m . n) bağıntı sayısı
Ü b Ì A x B olmak üzere,
b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} bağıntısının tersi
b-1 Ì B x A dır.
Buna göre, b bağıntısının tersi
b-1 = {(y, x) : (x, y) Î b} dır.
-
BAĞINTININ ÖZELİKLERİ
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
-
Yansıma Özeliği
A kümesinin bütün x elemanları için (x, x) Î b ise, b yansıyandır.
“x Î A için, (x, x) Î b ª b yansıyandır.
-
Simetri Özeliği
b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) Î b ise, b simetriktir.
“(x, y) Î b için (y, x) Î b ª b simetriktir.
Ü b bağıntısı simetrik ise b = b-1 dir.
Ü s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı dir.
Ü s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(n.n – n) dir.
-
Ters Simetri Özeliği
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
x ¹ y iken “(x, y) Î b için (y, x) Ï b ise, b ters simetriktir.
b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özeliğini bozmaz. |
-
Geçişme Özeliği
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
olmalı
b bağıntısının geçişme özelliği vardır.
-
BAĞINTI ÇEŞİTLERİ
-
Denklik Bağıntısı
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
b; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır.
Ü b denklik bağıntısı ve (x, y) Î b ise, x denktir. y ye denir.
x º y biçiminde gösterilir.
Ü b denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine a nın denklik sınıfı denir.
biçiminde gösterilir.
Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi,
= {y : y Î A ve (a, y) Î b} olur.
-
Sıralama Bağıntısı
A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa bağıntı sıralama bağıntısıdır.
FONKSİYON
-
TANIM
A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.
” x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir.
Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}
biçiminde de gösterilir.
Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
- i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
- ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n – nm dir.
Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.
-
FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f ve g birer fonksiyon olsun.
f : A ® IR
g : B ® IR
olmak üzere,
- i) f ± g: A Ç B ® IR
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
- ii) f . g: A Ç B ® IR
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
-
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
-
Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.
“x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken
x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı
-
Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
Ü f : A ® B
f(A) = B ise, f örtendir.
Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
m! = m . (m – 1) . (m – 2) … 3 . 2 . 1 dir.
-
İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir.
-
Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
f : IR ® IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur.
Ü Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.
-
Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
Ü “x Î A ve c Î B için
f : A ® B
f(x) = c
fonksiyonu sabit fonksiyondur.
Ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.
-
Çift ve Tek Fonksiyon
f : IR ® IR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
-
EŞİT FONKSİYON
f : A ® B
g : A ® B
“x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
-
PERMÜTASYON FONKSİYONU
f : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup biçiminde gösterilir.
-
TERS FONKSİYON
f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur.
Ü Uygun koşullarda, f(a) = b Û f – 1(b) = a dır.
Ü f : IR ® IR, f(x) = ax + b ise,
Ü (f – 1) – 1 = f dir.
Ü (f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir.
Ü y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.
Ü B Ì IR olmak üzere,
f(x) = ax2 + bx + c ise,
Ü B Ì IR olmak üzere,
f(x) = ax2 + bx + c ise,
-
BİLEŞKE FONKSİYON
-
Tanım
f : A ® B
g : B ® C
olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
(gof)(x) = g[f(x)] tir.
-
Bileşke Fonksiyonun Özelikleri
-
i) Bileşke işleminin değişme özeliği
fog ¹ gof
Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Fakat bu, bileşke işleminin değişme özeliği olmadığını değiştirmez. |
- ii) Bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.
fo(goh) = (fog)oh = fogoh
iii) foI = Iof = f
olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.
- iv) fof – 1 = f – 1of = I
olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.
v) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir.