Temel Kavramlar ve Sayılar
TEMEL KAVRAMLAR
-
SAYI
-
Rakam
Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.
-
Sayı
Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.
Üç basamaklı abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.
Her rakam bir sayıdır. Fakat her sayı bir rakam olmayabilir. |
-
SAYI KÜMELERİ
-
Sayma Sayıları
{1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir.
-
Doğal Sayılar
={0, 1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir.
-
Pozitif Doğal Sayılar
= {1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına pozitif doğal sayı denir.
Pozitif doğal sayılar kümesi, sayma sayıları kümesine eşittir. |
-
Tam Sayılar
= {… , – n , … – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, … , n , …} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.
Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi: , pozitif tam sayılar kümesi: ve sıfırı eleman kabul eden: {0} kümenin birleşim kümesidir.
Buna göre,
-
Rasyonal Sayılar
a ve b birer tam sayı ve b ¹ 0 olmak koşuluyla biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.
biçiminde gösterilir.
-
İrrasyonel Sayılar
Virgülden sonraki kısmı tahmin edilemeyen sayılara irrasyonel sayılar denir.
biçiminde yazılamayan sayılar: a, b Î ve b ¹ 0} biçiminde gösterilir.
Hem rasyonel hem de irrasyonel olan bir sayı yoktur. |
sayıları birer irrasyonel sayıdır.
-
Reel (Gerçel) Sayılar
Rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel (gerçel) sayılar kümesi denir.
biçiminde gösterilir.
-
Karmaşık (Kompleks) Sayılar
kümesinin her bir elemanına karmaşık sayı denir.
-
SAYI ÇEŞİTLERİ
-
Çift Sayı
olmak koşuluyla 2n ifadesi ile belirtilen tam sayılara çift sayı denir.
Ç = {… , – 2n , … , – 4, – 2, 0, 2, 4, … , 2n , …}
biçiminde gösterilir.
-
Tek Sayı
olmak koşuluyla 2n + 1 ifadesi ile belirtilen tam sayılara tek sayı denir.
T = {… , – (2n + 1), … , –3, –1, 1, 3, … , (2n + 1), …} biçiminde gösterilir.
T : Tek sayı
Ç : Çift sayıyı göstersin.
Bölme işlemi için yukarıdaki biçimde bir genelleme yapılamaz. |
- Tek sayılar ve çift sayılar tam sayılardan oluşur.
- Hem tek hem de çift olan bir sayı yoktur.
- Sıfır (0) çift sayıdır.
-
Pozitif Sayılar, Negatif Sayılar
Sıfırdan büyük her reel (gerçel) sayıya pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel (gerçel) sayıya negatif sayı denir.
Ü a < b < 0 < c < d olmak üzere,
- a, b birer negatif sayıdır.
- c, d birer pozitif sayıdır.
- İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d > 0)
- İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b < 0)
- Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif, eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur.
m – n ifadesinde m eksilen, n çıkandır.
- Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir.
- Aynı işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) pozitiftir.
- Zıt işaretli iki sayının toplamı; negatif, pozitif veya sıfırdır.
- Zıt işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) negatiftir.
- Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.
- Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.
-
Asal Sayı
Kendisinden ve 1 den başka pozitif tam sayılara tam bölünmeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sayıları birer asal sayıdır.
- En küçük asal sayı 2 dir. 2 den başka çift asal sayı yoktur.
- Asal sayıların çarpımı asal değildir.
-
Aralarında Asal
Ortak bölenlerinin en büyüğü 1 olan tam sayılara aralarında asal sayılar denir.
a ile b aralarında asal ise, oranı en sade biçimdedir.
-
ARDIŞIK SAYILAR
Belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar denir.
Ü n bir tam sayı olmak üzere,
- Ardışık dört tam sayı sırasıyla;
n, n + 1, n + 2, n + 3 tür.
- Ardışık dört çift sayı sırasıyla;
2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır.
- Ardışık dört tek sayı sırasıyla;
2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir.
- Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla;
3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur.
Ardışık Sayıların Toplamı
n bir sayma sayısı olmak üzere,
- Ardışık sayma sayılarının toplamı
- Ardışık çift doğal sayıların toplamı
2 + 4 + 6 + … + (2n) = n(n + 1)
- Ardışık tek doğal sayıların toplamı
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2
- Artış miktarı eşit olan ardışık tam sayıların toplamı
r : İlk terim
n : Son terim
x : Artış miktarı olmak üzere,
Ardışık sayıların toplamı, sayı adedine bölünürse ortanca terim bulunur. Eğer sayı adedi çift ise, ortanca terim sayı dizisine ait değildir. |
SAYI SİSTEMLERİ
-
SAYI BASAMAĞI
Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birine bu sayının basamağı denir.
Bir doğal sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar basamaklıdır. 243 üç basamaklı bir sayıdır.
-
ÇÖZÜMLEME
Doğal sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri denir.
Basamak değerlerinin toplamına o sayının çözümlenmiş biçimi denir. Üç basamaklı abc sayısı aşağıda çözümlenmiştir.
- ab = 10 . a + b
- abc = 100 . a + 10 . b + c
- aaa = 111 . a
- ab + ba = 11 . (a + b)
- ab – ba = 9 . (a – b)
- abc – cba = 99 . (a – c)
-
TABAN
Bir sayı sisteminde sayının basamak değerlerini göstermek için kullanılan düzene taban denir.
T taban olmak üzere,
(abcd)T = a . T3 + b . T2 + c . T + d dir.
Burada,
- T, 1 den büyük doğal sayıdır.
- a, b, c, d rakamları T den küçüktür.
- Taban belirtmeden kullandığımız sayılar 10 luk tabana göredir.
- (abc, de)T = a . T 2 + b . T + c . T0 + d . T – 1 + e . T – 2
= a . T 2 + b . T + c + d . T – 1 + e . T – 2 dir.
-
Onluk Tabanda Verilen Sayının Herhangi Bir Tabana Çevrilmesi
Onluk tabanda verilen sayı, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür. Bölüm tekrar tabana bölünür. Bu işleme bölüm 0 olana kadar devam edilir.
Ardışık olarak yapılan bu bölmelerden kalanlar sondan başlayarak (ilk kalan son rakam olacak şekilde) sıralanmasıyla istenen sayı oluşturulur.
-
Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 luk Tabana Çevrilmesi
Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen sayı, ait olduğu tabana göre çözümlenir.
-
Herhaangi Bir Tabanda Verilen Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması
Herhangi bir tabanda verilen sayı önce 10 tabanına çevrilir. Bulunan değer istenen tabana dönüştürülür.
-
Taban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma, Çarpma İşlemleri
Değişik tabanlarda yapılacak işlemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yapılır.
T tabanında verilen sayılarda toplama ve çarpma işlemleri bilinen cebirsel işlem gibi yapılır, ancak sonuç T den büyük çıkarsa içinden T ler atılıp kalan alınır. Atılan T adedi elde olarak bir sonraki basamağa ilave edilir.
Çıkarma işlemi yapılırken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki basamaktan 1 (bir) almak gerektiğinde, bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın sayı değeri kadardır. Fakat alındığı basamaktaki rakam 1 azalır.
BÖLME ve BÖLÜNEBİLME
-
BÖLME
A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,
bölme işleminde,
- A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
- A = B . C + K dır.
- Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
- Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. Bu durumda K ile A değişmez.
- K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.
-
BÖLÜNEBİLME KURALLARI
-
2 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.
Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.
-
3 İle Bölünebilme
Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.
Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.
-
4 İle Bölünebilme
Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.
… abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.
- … abc sayısının 4 ile bölümünden kalan
c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.
-
5 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.
Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.
-
7 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan-1 … a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,
k Î Z olmak üzere,
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + … = 7k
olmalıdır.
Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, … olan sayının (…a5a4a3a2a1a0 sayısının) 7 ile bölümünden kalan
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + …
işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.
-
8 İle Bölünebilme
Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.
3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.
Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, … olan sayının (…abc sayısının) 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölümünden kalana eşittir.
-
9 İle Bölünebilme
Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
-
10 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.
-
11 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan–1 … a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için
(a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)… = 11 . k
ve k Î Z olmalıdır.
Ü (n + 1) basamaklı anan–1 … a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile bölümünden kalan
(a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)… işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.
Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür. • 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür. • 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür. |
-
BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ
A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,
A nın C ile bölümünden kalan K1 ve
B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.
Buna göre,
- A . B nin C ile bölümünden kalan K1 . K2 dir.
- A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir.
- D . A nın C ile bölümünden kalan D . K1 dir.
- AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir.
Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.
-
ÇARPANLAR İLE BÖLÜM
Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.
Ü 144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
Ü 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.
-
BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ
Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.
a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,
A = am . bn . ck olsun.
- A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
- A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı:
(m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.
- A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam sayı bölenidir.
- A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:
2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.
- A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
- A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı:
- A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
- A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı
– (a + b + c) dir.
- A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:
- A sayısınının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: