Üslü Sayılar, Köklü Sayılar, Çarpanlara Ayırma ve Oran Orantı
ÜSLÜ İFADELER
-
TANIM
a bir gerçel (reel) sayı ve n bir sayma sayısı olmak üzere,
ifadesine üslü ifade denir.
k . an ifadesinde k ya kat sayı, a ya taban, n ye üs denir.
-
ÜSLÜ İFADENİN ÖZELİKLERİ
1) a ¹ 0 ise, a0 = 1 dir.
2) 00 tanımsızdır.
3) n Î IR ise, 1n = 1 dir.
5) (am)n = (an)m = am . n
8) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
9) Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
10) n bir tam sayı ve a bir gerçel (reel) sayı olmak üzere,
- i) (– a)2n = a2n ifadesi daima pozitiftir. (a, sıfırdan farklı bir gerçel sayı)
- ii) (– a2n) = – a2n ifadesi daima negatiftir. (a, sıfırdan farklı bir gerçel sayı)
iii) (– a)2n + 1 = – a2n + 1 ifadesi a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir.
11) (n + 1) basamaklı sayısı a . 10n ye eşittir.
-
ÜSLÜ İFADELERDE DÖRT İŞLEM
1) x . an + y . an – z . an = (x + y – z) . an
2) am . an = am + n
3) am . bm = (a . b)m
-
ÜSLÜ DENKLEMLER
1) a ¹ 0, a ¹ 1, a ¹ – 1 olmak üzere,
ax = ay ise x = y dir.
2) n, 1 den farklı bir tek sayı ve xn = yn ise,
x = y dir.
3) n, 0 dan farklı bir çift sayı ve xn = yn ise,
x = ± y dir.
KÖKLÜ İFADELER
-
TANIM
n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,
xn = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci dereceden kökü denir.
-
KÖKLÜ İFADELERDE YAPILAN İŞLEMLER
-
Toplama – Çıkarma
Kök dereceleri birbirine eşit ve kök içindeki sayılar da birbirine eşit olan ifadelerin kat sayıları toplanır ya da çıkarılır.
Bulunan sonuç köklü ifadenin kat sayısı olur.
-
SONSUZ KÖKLER
Yukarıdaki son iki özelikte a, ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı ise, v. nin cevabı bu sayıların büyüğü, vı. nın cevabı bu sayıların küçüğüdür. |
-
KÖKLÜ İFADELERDE SIRALAMA
Kök dereceleri eşit olan (ya da eşitlenen) pozitif sayılarda, kök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır.
ÇARPANLARA AYIRMA
-
ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA
A(x) . B(x) ± A(x) . C(x) = A(x) . [B(x) ± C(x)]
En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır. |
-
ÖZDEŞLİKLER
-
İki Kare Farkı – Toplamı
- i) a2 – b2 = (a – b) (a + b)
- ii) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab ya da
a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab dir.
-
İki Küp Farkı – Toplamı
- i) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2 )
- ii) a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2 )
iii) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab (a – b)
- iv) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab (a + b)
-
n. Dereceden Farkı – Toplamı
- i) n bir sayma sayısı olmak üzere,
xn – yn = (x – y) (xn – 1 + xn – 2y + xn – 3 y2 + … + xyn – 2 + yn – 1) dir.
- ii) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,
xn + yn = (x + y) (xn – 1 – xn – 2y + xn – 3 y2 – … – xyn – 2 + yn – 1) dir.
-
Tam Kare İfadeler
- i) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- ii) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
iii) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
- iv) (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)
n bir tam sayı ve a ¹ b olmak üzere, • (a – b)2n = (b – a)2n • (a – b)2n – 1 = – (b – a)2n – 1 dir. |
• (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab |
Pascal Üçgeni
(a + b)n açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.
Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak kat sayılar belirlenir.
(a – b)n yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (–) işareti konulur.
• (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 • (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 • (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4 • (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4 |
ORAN – ORANTI
-
ORAN
a ve b reel sayılarının en az biri sıfırdan farklı olmak üzere, ye a nın b ye oranı denir.
• Oranlanan çokluklardan ikisi aynı anda sıfır olamaz. • Oranın payı ya da paydası sıfır olabilir. • Oranlanan çoklukların birimleri aynı tür olmalıdır. • Oranın sonucu birimsizdir. |
-
ORANTI
En az iki oranın eşitliğine orantı denir. Yani oranı ile nin eşitliği olan ye orantı denir. Bu orantı a : c = b : d biçiminde de gösterilebilir.
ise, a ile d ye dışlar, b ile c ye içler denir. |
-
ORANTININ ÖZELİKLERİ
3) m ile n den en az biri sıfırdan farklı olmak üzere,
ise, (k ya orantı sabiti denir.)
4) a : b : c = x : y : z ise,
Burada, a = x . k
b = y . k
c = z . k dır.
-
ORANTI ÇEŞİTLERİ
-
Doğru Orantılı Çokluklar
Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir.
x ile y çoklukları doğru orantılı ve k pozitif bir doğru orantı sabiti olmak üzere, y = k . x ifadesine doğru orantının denklemi denir. Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir. (x > 0 ve y > 0)
• İşçi sayısı ile üretilen ürün miktarı doğru orantılıdır. • Bir aracın hızı ile aldığı yol doğru orantılıdır. |
-
Ters Orantılı Çokluklar
Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir.
x ile y çoklukları ters orantılı ve k pozitif bir ters orantı sabiti olmak üzere, ifadesine ters orantının denklemi denir. (x > 0 ve y > 0)
Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir.
• İşçi sayısı ile işin bitirilme süresi ters orantılıdır. • Bir aracın belli bir yolu aldığı zaman ile aracın hızı ters orantılıdır. |
a, b ile doğru c ile ters orantılı ve k pozitif bir orantı sabiti olmak üzere, |
-
ARİTMETİK ORTALAMA
n tane sayının aritmetik ortalaması bu n tane sayının toplamının n ye bölümüdür.
Buna göre, x1, x2, x3, … , xn sayılarının aritmetik ortalaması,
- a ile b nin aritmetik ortalaması
- a, b, c biçimindeki üç sayının aritmetik ortalaması,
- n tane sayının aritmetik ortalaması x olsun.
Bu n tane sayının herbiri; A ile çarpılır, B ilave edilirse oluşan yeni sayıların aritmetik ortalaması Ax + B olur.
-
GEOMETRİK ORTALAMA
n tane sayının geometrik ortalaması bu sayıların çarpımının n. dereceden köküdür.
Buna göre,
x1, x2, x3, … , xn sayılarının geometrik ortalaması
- a ile b nin geometrik ortalaması (orta orantılısı)
- a, b, c biçimindeki üç sayının geometrik ortalaması,
- a ile b nin aritmetik ortalaması geometrik ortalamasına eşit ise a = b dir
- İki pozitif sayının aritmetik ortalaması A, geometrik ortalaması G ve harmonik ortalaması H ise,
- i) G2 = A . H dır.
- ii) H £ G £ A dır.
-
DÖRDÜNCÜ ORANTILI
orantısını sağlayan x sayısına a, b, c sayıları ile dördüncü orantılı olan sayı denir.