Parabol, Eşitsizlikler, Permütasyon-Kombinasyon-Binom ve Olasılık
PARABOL
-
TANIM
a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.
İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir.
Parabol, düzgün tel parçasının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir.
|
-
PARABOLÜN TEPE NOKTASI
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası
T(r, k) olmak üzere,
y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(r, k) dır. |
-
GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR
Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun.
ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x1, 0), B(x2, 0), C(0, c) dir.
Ü ax2 + bx + c = 0 denkleminde
- D = b2 – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser.
- D = b2 – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini kesmez.
- D = b2 – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine teğettir.
-
x2 NİN KAT SAYISI OLAN a NIN İŞARETİ
1) | a > 0 ise, parabolün kolları yukarı doğru olup, f(x) in en küçük değeri tepe noktasının ordinatı olan k dır. |
2) | a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktasının ordinatı olan k dır. |
3) | |a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, parabollere göre, f deki x2 nin kat sayısı, g deki x2 nin kat sayısından büyüktür. |
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,
1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur.
2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.
3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.
-
GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI
-
Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa
y = f(x) = a(x – x1) (x – x2) … (1) dir.
Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.
-
Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa
y = f(x) = a(x – r)2 + k … (1) dir.
Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.
-
Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa
y1 = ax12 + bx1 + c … (1)
y2 = ax22 + bx2 + c … (2)
y3 = ax32 + bx3 + c … (3)
Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.
-
PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU
y = f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile
y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.
f(x) = g(x)
ax2 + bx + c = mx + n
ax2 + (b – m)x + c – n = 0 … («)
(«) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.
Buna göre, («) denkleminde;
- D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser.
- D < 0 ise, parabol ile doğru kesişmez.
- D = 0 ise, parabol doğruya teğettir.
Ü y = ax2 + bx + c parabolü ile y = dx2 + ex + f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine benzer biçimde işlemler yapılır.
EŞİTSİZLİKLER
-
TANIM
f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0 ifadelerine fonksiyonların eşitsizliği denir.
Bu eşitsizlikleri sağlayan sayıların oluşturduğu kümeye de eşitsizliğin çözüm kümesi denir.
-
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER
m ¹ 0 olmak üzere, f(x) = mx + n koşulunu sağlayan noktalar analitik düzlemde bir doğru belirtir.
-
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER
f(x) = ax2 + bx + c koşulunu sağlayan noktalar analitik düzlemde bir parabol belirtir.
1) f(x) = ax2 + bx + c > 0 ın çözüm kümesi bütün gerçel sayılar ise, D < 0 ve a > 0 dır. 2) f(x) = ax2 + bx + c < 0 ın çözüm kümesi bütün gerçel sayılar ise, D < 0 ve a < 0 dır. 3) a < 0 ve D < 0 ise, f(x) = ax2 + bx + c > 0 ın çözüm kümesi boş kümedir. |
Polinom fonksiyonlarından oluşan rasyonel fonksiyonların eşitsizliği incelenirken aşağıdaki 5 adım izlenerek çözüm kümesi bulunur. Bu, bütün eşitsizliklerde uygulanabilen pratik bir çözüm yoludur.
- Adım : Verilen ifadedeki her çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.
- Adım : Bulunan bu kökler sayı doğrusunda sıralanır.
- Adım : Sistemin işareti bulunur.
Sistemin işareti; her çarpandaki en büyük dereceli değişkenlerin katsayılarının çarpımının işaretidir.
- Adım : Bulunan bu işaret, tablonun en sağındaki kutuya yazılır.
- Adım : Tablodaki diğer kutular sırayla sola doğru doldurulur.
Tek katlı kökün soluna sağındaki işaretin zıttı, çift katlı kökün soluna sağındaki işaretin aynısı yazılır.
Çift katlı köklerde grafik Ox eksenine teğet olduğundan eğri, o noktada da işaret değiştirmez.
(x + 1)100 = 0 ª x = – 1 çift katlı köktür.
(x – 1)99 = 0 ª x = 1 tek katlı köktür.
çözüm kümesine;
P(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınır,
Q(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınmaz.
çözüm kümesine;
P(x) = 0
Q(x) = 0
sağlayan x değerleri alınmaz.
-
EŞİTSİZLİK SİSTEMİ
İki ya da daha fazla eşitsizliğin oluşturduğu sisteme eşitsizlik sistemi denir.
Bir eşitsizlik sistemindeki eşitsizlikleri birlikte sağlayan değerlerin oluşturduğu kümeye eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir.
Eşitsizlik sisteminde her eşitsizliğin çözüm aralığı ayrı ayrı bulunur. Bu aralıkların kesişim kümesi sistemin çözüm kümesidir.
f(x) > 0 ın çözüm kümesi Ç1 ve
g(x) £ 0 ın çözüm kümesi Ç2 ise
sisteminin çözüm kümesi
Ç1 Ç Ç2 dir.
-
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİNİN İŞARETLERİNİN İNCELENMESİ
f(x) = ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 olsun.
D = b2 – 4ac olmak üzere aşağıdaki tabloyu yazabiliriz.
-
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BİR
GERÇEL SAYI İLE KARŞILAŞTIRILMASI
f(x) = ax2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri x1 ve x2 (x1 < x2) olmak üzere, k gerçel sayısı ile x1 ve x2 nin karşılaştırılması ile ilgili bilgileri aşağıdaki tabloda verelim.
PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – BİNOM
-
PERMÜTASYON
-
SAYMANIN TEMEL KURALI
1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.
2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m . n yolla yapılabilir.
-
FAKTÖRİYEL
1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.
0! = 1 olarak tanımlanır.
1! = 1
2! = 1 . 2
n! = 1 . 2 . 3 . … . (n – 1) . n
n! = n . (n – 1)!
(n – 1)! = (n – 1) . (n – 2)! dir.
n . n! = (n + 1)! – n!
-
TANIM
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.
n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı,
1) P(n, n) = n!
2) P(n, 1) = n
3) P(n, n – 1) = n! dir.
-
TEKRARLI PERMÜTASYON
n tane nesnenin; n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, … , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun.
n = n1 + n2 + n3 + … + nr
olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,
-
DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir.
n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :
(n – 1)! dir.
n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa sıralanmalarının sayısı : (n > 2) |
-
KOMBİNASYON
TANIM
r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir.
n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı
Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur. |
Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;
- a) Çizilebilecek doğru sayısı
- b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan tane üçgen çizilebilir.
Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çok farklı
noktada kesişirler.
Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir.
Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim noktası vardır.
III. BİNOM AÇILIMI
-
TANIM
n Î IN olmak üzere,
ifadesine binom açılımı denir.
Burada;
sayılarına binomun kat sayıları denir.
ifadelerinin her birine terim denir.
ifadesinde kat sayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir.
-
(x + y)n AÇILIMININ ÖZELİKLERİ
1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır.
2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n dir.
3) Kat sayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır. Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir.
4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;
baştan (r + 1). terim :
sondan (r + 1). terim :
(x – y)n ifadesinin açılımında 1. terimin işareti (+), 2. terimin işareti (–), 3. terimin işareti (+) … dır. Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir. |
n Î N+ olmak üzere,
(x + y)2n nin açılımında ortanca terim
n Î IN+ olmak üzere,
açılımındaki sabit terim,
ifadesinde m . (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur.
c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için x = 0 ve y = 0 yazılır.
(a + b + c)n nin açılımında ak . br . cm li terimin kat sayısı;
OLASILIK
-
TANIM
Olasılık, sonucu kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Bir zar atıldığında üst yüze gelen noktaların sayısının ne olacağı gibi şans oyunlarıyla ilgilenen olasılık teorisi günümüzde sosyal olaylar ve bilimsel çalışmalarda da kullanılmaktadır.
-
OLASILIK TERİMLERİ
Bir madeni para havaya atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini (v.b) tesbit etme işlemine deney denir.
Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) sonuç denir.
Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümeye örnek uzay ve örnek uzayın her bir elemanına örnek nokta denir.
Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir.
Örnek uzayın alt kümelerinden olan boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir.
Örnek uzayın bütün elemanlarını içeren alt kümesine mutlak (kesin) olay denir.
A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun. A Ç B = Æ ise, A ve B olayına ayrık olay denir. |
-
OLASILIK FONKSİYONU
E örnek uzayının bütün alt kümelerinin oluşturduğu kuvvet kümesi K olsun.
P : K ® [0, 1]
biçiminde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir. A Î K ise P(A) gerçel sayısına A olayının olasılığı denir.
1) Her A Î K için, 0 £ P(A) £ 1 dir. Yani, A olayının olasılığı 0 ile 1 arasındadır.
2) İmkansız olayın olasılığı 0 ve kesin olayın olasılığı 1 dir.
3) A, B Î K ve A Ç B = Æ ise,
1) P(A È B) = P(A) + P(B) dir.
2) A Ì B ise P(A) £ P(B) dir.
3) tümleyeni olmak üzere,
4) P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)
5) A, B, C olayları E örnek uzayının ikişer ikişer ayrık bütün olayları ise,(E = A È B È C)
P(A) + P(B) + P(C) = 1 dir.
1) n, paranın atılma sayısını veya para sayısını göstermek üzere, örnek uzay 2n dir.
2) n, zarın atılma sayısını veya zar sayısını göstermek üzere, örnek uzay 6n dir.
-
BAĞIMSIZ VE BAĞIMLI OLAYLAR
Bir olayın elde edilmesi, diğer olayın elde edilmesini etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir.
Eğer iki olay bağımsız değil ise, bu olaylara birbirine bağımlıdır denir.
A ve B bağımsız iki olay olsun. A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı :
P(A Ç B) = P(A) . P(B) dir.
-
KOŞULLU OLASILIK
A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A olayının olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A \ B) ile gösterilir.